Il volume sviluppa in modo approfondito il legame tra topologia algebrica, geometria differenziale e analisi globale, ponendo al centro le teorie di omologia e coomologia come strumenti fondamentali di calcolo e classificazione. Dopo aver introdotto i principali complessi algebrici, simpliciali e cellulari, il testo presenta le diverse teorie omologiche e coomologiche, mettendone in evidenza l'invarianza omotopica, le successioni esatte e le principali operazioni strutturali, fino a risultati di grande rilievo come la dualità di Poincaré e le applicazioni ai gruppi di Lie, ai fibrati e alle varietà complesse. Una parte sostanziale è dedicata alla teoria di Morse, che collega i punti critici delle funzioni differenziabili alla struttura topologica delle varietà. Attraverso le disuguaglianze di Morse e lo studio dei funzionali, il libro mostra come metodi variazionali e topologici interagiscano nello studio delle geodetiche, dei problemi periodici e dei sistemi meccanici. L'ultima parte affronta la teoria dei cobordismi e delle strutture differenziabili, culminando in temi profondi come i numeri caratteristici e la classificazione delle varietà, offrendo una visione unitaria e avanzata della topologia differenziale moderna.